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MATES: problemas m.c.m y m.c.d (8-11-24) resueltos en clase y otros para practicar en casa
Problemas de M.C.M: algo que se repite
- Problema de ciclos: Cuando dos o más eventos se repiten a intervalos regulares (como el parpadeo de luces, las alarmas o las campanas) y queremos saber cuándo volverán a ocurrir al mismo tiempo.
- Problema de programación: Cuando se necesitan sincronizar procesos con diferentes intervalos de tiempo.
Descompón los números en factores primos.
Toma todos los factores primos con los mayores exponentes.
Problemas de M.C.D.: reparto
- Problema de reparto: Cuando se quiere repartir una cantidad en partes iguales, como en el caso de repartir galletas, manzanas o cualquier otro objeto en grupos iguales.
- Problema de división de recursos: Cuando se necesita dividir algo (como una cantidad de trabajo, materiales o alimentos) entre varias personas sin que sobre nada.
Descompón los números en factores primos.
Toma los factores comunes con los menores exponentes.
ESTOS SON LOS PROBLEMAS QUE HEMOS HECHO EN CLASE. SI TE DAS CUENTA, SON TODOS IGUALES. SON LOS 2 TIPOS DE PROBLEMAS QUE TE PUEDES ENCONTRAR DE M.C.M Y M.C.D
AL FINAL TE DEJO MÁS PROBLEMAS POR SI QUIERES PRACTICAR EL FIN DE SEMANA EN CASA PARA PREPARAR EL EXAMEN.
Problema 1: (M.C.D.)
Un jardín rectangular mide 18 metros de largo y 24 metros de ancho. Se quiere poner césped en el jardín utilizando los rollos de césped más grandes posibles, de forma cuadrada. ¿Cuál será la longitud del lado de cada rollo de césped?
Para encontrar el M.C.D., descomponemos 18 y 24 en factores primos:
- 18 = 2 × 3²
- 24 = 2³ × 3
El M.C.D. se obtiene tomando los factores primos comunes con los menores exponentes:
- M.C.D. = 2 × 3 = 6
Por lo tanto, la longitud del lado del rollo de césped será 6 metros.
Problema 2:(M.C.M.)
Carlos necesita tomar una pastilla cada 4 horas y beber un jarabe cada 6 horas para curarse. ¿Dentro de cuántas horas tomará ambas medicinas al mismo tiempo nuevamente?
Para encontrar el M.C.M., descomponemos 4 y 6 en factores primos:
- 4 = 2²
- 6 = 2 × 3
El M.C.M. se obtiene tomando los factores primos con los mayores exponentes:
- M.C.M. = 2² × 3 = 12
Por lo tanto, Carlos tomará ambas medicinas al mismo tiempo nuevamente después de 12 horas.
Problema 3 (M.C.M.)
En el escenario de un teatro, las luces de colores parpadean en intervalos regulares. La luz roja parpadea cada 5 segundos, la luz verde cada 6 segundos y la luz azul cada 10 segundos. Si las tres luces acaban de parpadear juntas, ¿en cuántos segundos volverán a parpadear todas juntas?
Para encontrar el M.C.M., descomponemos 5, 6 y 10 en factores primos:
- 5 = 5
- 6 = 2 × 3
- 10 = 2 × 5
El M.C.M. se obtiene tomando los factores primos con los mayores exponentes:
- M.C.M. = 2 × 3 × 5 = 30
Por lo tanto, las tres luces volverán a parpadear juntas después de 30 segundos.
Problema 4: (M.C.D.)
María tiene 48 naranjas y 60 manzanas. Quiere hacer bolsas con el mismo número de piezas de fruta en cada bolsa, sin mezclar naranjas con manzanas. ¿Cuántas piezas de fruta pondrá en cada bolsa, de manera que todas las bolsas tengan la misma cantidad de frutas y el mayor número posible de frutas?
Para encontrar el M.C.D., descomponemos 48 y 60 en factores primos:
- 48 = 2⁴ × 3
- 60 = 2² × 3 × 5
El M.C.D. se obtiene tomando los factores primos comunes con los menores exponentes:
- M.C.D. = 2² × 3 = 12
Por lo tanto, María pondrá 12 frutas en cada bolsa.
Problema 5: (M.C.M.)
Pregunta:
En una fábrica, tres máquinas cortan cintas de diferentes colores. La primera máquina corta una cinta roja cada 3 minutos, la segunda máquina corta una cinta amarilla cada 5 minutos, y la tercera máquina corta una cinta verde cada 7 minutos. Si las tres máquinas empiezan a cortar cintas al mismo tiempo, ¿en cuántos minutos volverán a cortar una cinta al mismo tiempo?
Para encontrar el M.C.M., descomponemos 3, 5 y 7 en factores primos:
- 3 = 3
- 5 = 5
- 7 = 7
El M.C.M. se obtiene tomando los factores primos con los mayores exponentes:
- M.C.M. = 3 × 5 × 7 = 105
Por lo tanto, las tres máquinas volverán a cortar una cinta al mismo tiempo después de 105 minutos.
Problema 6: (M.C.D.)
En un vivero, hay 72 plantas de geranios y 96 plantas de begonias. Se quiere poner el mismo número de plantas en cada maceta, pero sólo se pueden poner plantas del mismo tipo en cada maceta. ¿Cuántas plantas de cada tipo se pondrán en cada maceta para que haya el mayor número posible de macetas?
Para encontrar el M.C.D., descomponemos 72 y 96 en factores primos:
- 72 = 2³ × 3²
- 96 = 2⁵ × 3
El M.C.D. se obtiene tomando los factores primos comunes con los menores exponentes:
- M.C.D. = 2³ × 3 = 24
Por lo tanto, se pondrán 24 plantas en cada maceta.
Problema 7: (M.C.M.)
En una iglesia, las campanas suenan a intervalos regulares. La campana grande suena cada 15 minutos, la mediana cada 20 minutos, y la pequeña cada 25 minutos. Si las tres campanas acaban de sonar juntas, ¿cuántos minutos pasarán hasta que las tres suenen nuevamente al mismo tiempo?
Para encontrar el M.C.M., descomponemos 15, 20 y 25 en factores primos:
- 15 = 3 × 5
- 20 = 2² × 5
- 25 = 5²
El M.C.M. se obtiene tomando los factores primos con los mayores exponentes:
- M.C.M. = 2² × 3 × 5² = 300
Por lo tanto, las tres campanas volverán a sonar juntas después de 300 minutos (5 horas).
Problema 8: (M.C.D.)
Juan tiene 84 manzanas y 120 peras. Quiere repartir las frutas en cestas, poniendo el mismo número de manzanas y el mismo número de peras en cada cesta, y asegurándose de que las cestas tengan el mayor número posible de frutas. ¿Cuántas frutas habrá en cada cesta?
Para encontrar el M.C.D., descomponemos 84 y 120 en factores primos:
- 84 = 2² × 3 × 7
- 120 = 2³ × 3 × 5
El M.C.D. se obtiene tomando los factores primos comunes con los menores exponentes:
- M.C.D. = 2² × 3 = 12
Por lo tanto, Juan pondrá 12 frutas en cada cesta.
Problema 9: (M.C.D.)
Juan tiene 54 galletas de chocolate y 72 galletas de vainilla. Quiere repartir las galletas en bolsas, de manera que cada bolsa tenga el mismo número de galletas de chocolate y el mismo número de galletas de vainilla, sin que sobre ninguna. ¿Cuántas galletas pondrá en cada bolsa?
Para encontrar el M.C.D., descomponemos 54 y 72 en factores primos:
- 54 = 2 × 3³
- 72 = 2³ × 3²
El M.C.D. se obtiene tomando los factores primos comunes con los menores exponentes:
- M.C.D. = 2 × 3² = 18
Por lo tanto, Juan pondrá 18 galletas en cada bolsa.
Problema 10: (M.C.M.)
En un parque, tres grupos de niños juegan diferentes tipos de juegos de pelota. El primer grupo lanza la pelota cada 8 segundos, el segundo grupo cada 12 segundos y el tercer grupo cada 16 segundos. Si todos lanzaron la pelota al mismo tiempo, ¿cuántos segundos pasarán hasta que los tres grupos lancen la pelota nuevamente al mismo tiempo?
Para encontrar el M.C.M., descomponemos 8, 12 y 16 en factores primos:
- 8 = 2³
- 12 = 2² × 3
- 16 = 2⁴
El M.C.M. se obtiene tomando los factores primos con los mayores exponentes:
- M.C.M. = 2⁴ × 3 = 48
Por lo tanto, los tres grupos volverán a lanzar la pelota al mismo tiempo después de 48 segundos.
POR SI QUIERES PRACTICAR MÁS EN CASA DE MANERA VOLUNTARIA.
SI LO HACES, PUEDES UTILIZAR EL CUADERNO DE MATES Y ENSEÑÁRMELO EL LUNES
- Problema 1: Carrera de Coches Tres coches de carreras están en una pista. El primer coche da una vuelta cada 5 minutos, el segundo coche cada 7 minutos, y el tercer coche cada 10 minutos. Si los tres coches comienzan al mismo tiempo, ¿en cuántos minutos volverán a estar en la misma posición, es decir, a dar la vuelta al mismo tiempo?
- Problema 2: Reparto de Galletas Juan tiene 48 galletas de chocolate y 72 galletas de vainilla. Quiere repartir las galletas en bolsas, asegurándose de que cada bolsa tenga el mismo número de galletas de chocolate y el mismo número de galletas de vainilla, sin que sobre ninguna. ¿Cuántas galletas habrá en cada bolsa?
- Problema 3: Campanas Sonando Tres campanas suenan al mismo tiempo, pero tienen intervalos de sonada diferentes: la primera cada 9 segundos, la segunda cada 12 segundos y la tercera cada 15 segundos. ¿En cuántos segundos volverán a sonar al mismo tiempo?
- Problema 4: Dividiendo Manzanas y Peras En un huerto hay 36 manzanas y 60 peras. Se quieren repartir las frutas en cestas, asegurándose de que cada cesta tenga el mismo número de manzanas y el mismo número de peras, sin que sobre ninguna. ¿Cuántas frutas habrá en cada cesta?
- Problema 5: Los Semáforos Los semáforos de tres calles diferentes parpadean cada cierto tiempo: el semáforo rojo cada 4 minutos, el semáforo verde cada 6 minutos y el semáforo amarillo cada 8 minutos. Si los tres semáforos parpadean al mismo tiempo, ¿cuántos minutos pasarán hasta que vuelvan a parpadear todos juntos?
- Problema 6: Empacando Balones Un distribuidor tiene 120 balones de fútbol y 150 balones de baloncesto. Quiere empaquetarlos de manera que cada caja contenga el mismo número de balones de fútbol y el mismo número de balones de baloncesto, sin que sobre ninguno. ¿Cuántos balones habrá en cada caja?
- Problema 7: Las Luces del Teatro Las luces de un teatro parpadean a intervalos regulares. La luz roja parpadea cada 10 segundos, la luz verde cada 15 segundos y la luz azul cada 20 segundos. Si todas las luces empiezan a parpadear al mismo tiempo, ¿cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a parpadear juntas?
- Problema 8: Reparto de Cuadernos En una clase, hay 84 cuadernos y 126 lápices. Se quiere repartir los cuadernos y los lápices en paquetes, de modo que cada paquete tenga el mismo número de cuadernos y el mismo número de lápices, sin que sobre ninguno. ¿Cuántos cuadernos y lápices habrá en cada paquete?
- Problema 9: Horarios de Autobuses En una ciudad, un autobús pasa cada 12 minutos, otro cada 18 minutos y otro cada 30 minutos. Si los tres autobuses pasan al mismo tiempo, ¿cuántos minutos pasarán hasta que los tres pasen nuevamente al mismo tiempo?
- Problema 10: Dividiendo Frutas Elena tiene 72 manzanas y 96 plátanos. Quiere repartir las frutas en cestas de manera que cada cesta tenga el mismo número de manzanas y el mismo número de plátanos. ¿Cuántas frutas habrá en cada cesta para que haya el mayor número posible de cestas?
- 70 minutos: MCM(5, 7, 10) = 70 minutos
- 24 galletas (12 de chocolate y 12 de vainilla): MCD(48, 72) = 24
- 180 segundos (3 minutos): MCM(9, 12, 15) = 180 segundos
- 12 frutas (6 manzanas y 6 peras): MCD(36, 60) = 12
- 24 minutos: MCM(4, 6, 8) = 24 minutos
- 30 balones (15 de fútbol y 15 de baloncesto): MCD(120, 150) = 30
- 60 segundos (1 minuto): MCM(10, 15, 20) = 60 segundos
- 42 objetos (21 cuadernos y 21 lápices): MCD(84, 126) = 42
- 180 minutos (3 horas): MCM(12, 18, 30) = 180 minutos
- 24 frutas (12 manzanas y 12 plátanos): MCD(72, 96) = 24